Estruturas de Dados Eficientes Para Métodos Submalhas Não Lineares Aplicados à Problemas de Transporte Convectivo-Difusivo-Reativo

Resumo: A mecânica computacional tem tido êxito na solução de problemas de interesse para a sociedade e em prover um entendimento profundo dos fenômenos naturais e de engenharia. Dentre as diversas aplicações da mecânica computacional destacamos os estudos de métodos numéricos e computacionais para para problemas de transporte. A resolução deste problema é muito comum em ciências aplicadas. Em particular, problemas de transporte envolvendo processos convectivos, difusivos e reativos em meios fluidos têm uma grande aplicabilidade em engenharia, na simulação dos efeitos da poluição em rios, mares e atmosfera; modelagem da evolução das reservas de petróleo e gás natural no subsolo, etc ... Além do interesse prático, a equação de convecção-difusão-reação também representa um modelo adequado para a introdução de métodos numéricos para problemas mais complicados. Por essas razões, um grande esforço tem sido feito para o desenvolvimento de modelos numéricos e computacionais para resolver de forma precisa essa equação. Contudo, dificuldades ainda persistem em muitas situações para a obtenção de soluções numéricas precisas e estáveis para essa equação quando o termo de difusão é muito pequeno comparado aos termos de convecção e/ou reação. Neste caso, a solução aproximada pode apresentar soluções não físicas, conhecidas como instabilidades numéricas.

Na tese de doutorado do proponente desse projeto “Métodos Submalhas Não Lineares Para o Problema de Convecção-Difusão-Reação” foram desenvolvidos novos métodos numéricos para resolver de forma precisa a equação de convecção-difusão-reação. Os aspectos matemáticos e numéricos do modelo desenvolvido constituem relevantes contribuições deste trabalho de tese. No entanto, para tirar um proveito maior dessa nova metodologia, é necessário o desenvolvimento de uma estrutura de dados eficiente para simulações de problemas complexos, como os associados à sistemas de transporte acoplados, escoamentos de fluidos compressíveis e incompressíveis, escoamentos turbulentos, dentre outros.

Na pesquisa de doutorado foi desenvolvida uma metodologia geral, baseada no princípio de separação de escalas para problemas do tipo convectivo-difusivo-reativo. Uma decomposição de dois níveis do espaço de aproximação foi feita e o problema local foi modificado para capturar as descontinuidades locais e não locais. Este processo conduz a um modelo submalha não linear que age somente na micro escala da malha de elementos finitos, mas com a vantagem de ser um método livre de parâmetro de estabilização. É um método auto adaptativo, pois a quantidade de viscosidade submalha é automaticamente introduzida de acordo com o resíduo da equação associada às escalas resolvidas, à nível de elemento. Foi desenvolvida a análise de erro do método, com taxas de convergências similares aos métodos estabilizados.

Neste projeto de pós doutorado, pretende-se dar continuidade a essa pesquisa, estudando e analisando estruturas de dados eficientes para manipular os dados das macro e micro escalas. No processo de solução de equações diferenciais parciais pelo método dos elementos finitos é necessário resolver sistemas não lineares de grande porte. Após alguma forma de linearizarão, os sistemas lineares resultantes são usualmente solucionados por técnicas iterativas baseadas nos espaços de Krylov, isto é, no caso simétrico, gradientes conjugados, ou no caso não-simétrico GMRES, LCD, Bi-CGSTAB e variantes. O sucesso dessa estratégia de solução requer uma implementação eficiente do produto matriz-vetor e da escolha de um precondicionador adequado. A forma escolhida para armazenar a matriz dos coeficientes é determinante na eficência computacional da implementação.

Dentre as formas de armazenamento utilizadas pelo método dos elementos finitos destacam-se a estratégia baseada em armazenamentos locais (elemento-por-elemento e aresta-por-aresta) e as estratégias baseadas em armazenamento global otimizado (por exemplo, CSR). As estratégias de armazenamentos locais caracterizam-se por não haver necessidade de montagem da matriz global ocasionando uma economia significativa de memória e número de operações de ponto flutuante nas operações envolvidas. Em contrapartida, as estratégias globais caracterizam-se pela montagem da matriz global, mas somente os coeficientes não nulos são armazenados, o que também proporciona uma economia de memória e número de operações de ponto flutuante.

A estratégia de armazenamento elemento-por-elemento baseia-se no armazenamento das contribuições de cada elemento em estruturas com dimensão igual ao número de graus de liberdade no interior de cada elemento finito. As operações produto matriz-vetor e produto escalar são realizadas em cada elemento e reunidas através de uma soma inteligente entre as contribuições de cada elemento. Utilizando aproximações lineares é possível realizar as operações locais através das arestas. O armazenamento aresta-por-aresta baseia-se no desmembramento das contribuições a nível de cada elemento gerando as contribuições de cada aresta. As informações geométricas e topológicas da malha são manipuladas de forma a gerar a nova estrutura baseada nas arestas dos elementos. A estrutura de armazenamento global CSR caracteriza-se por armazenar somente os coeficientes não nulos da matriz esparsa em um vetor seqüencial e vetores auxiliares para localizar os coeficientes na matriz global. Neste projeto pretende-se estudar essas técnicas de armazenamento visando otimizar o processo de solução da metodologia desenvolvida durante o doutoramento.

Data de início: 2007-11-01
Prazo (meses): 12

Participantes:

Papelordem decrescente Nome
Coordenador Lucia Catabriga
Pesquisador Isaac Pinheiro dos Santos
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